实多项式奇点的极大与典型拓扑

给定一个具有d次分量的多项式映射ψ:Sᵐ→ℝᵏ，我们研究由那些使得ψ及其导数满足给定多项式等式和不等式列表的点所构成的半代数集Z⊆Sᵐ的结构（我们称这样的集合为“奇点”）。关于多项式奇点拓扑复杂度的上界估计，我们改进了由Milnor证明的经典界限b(Z)≤O(dᵐ⁺¹)，得到b(Z)≤O(dᵐ)，该界限对一般多项式映射成立。关于Z的拓扑的“下界”，我们证明了光滑映射的C⁰扰动下零点集贝蒂数的一般半连续性结果——C¹扰动的情况是Thom同位引理（本质上是隐函数定理）的内容。该结果具有独立意义，且针对一般映射（不仅仅是多项式）陈述；此结果表明，C¹流形的小连续扰动具有比原流形更丰富的拓扑。我们随后将极端情况与随机情况进行比较，并证明平均而言Z的拓扑表现为其上界的“平方根”：对于具有d次分量的随机Kostlan映射ψ:Sᵐ→ℝᵏ，我们有：𝔼b(Z)=Θ(d^(m/2))。这将Edelman-Kostlan-Shub-Smale关于随机映射零点集的经典结果推广到了其奇点的结构。