可定义超曲面上的多项式零点：病态例存在但罕见

给定 $\mathbb{R}^{n-1}$ 中一族光滑紧超曲面序列 $\{Z_d\}_{d\in \mathbb{N}}$，我们证明（在提取子列后）存在一个正则可定义超曲面 $\Gamma\subset \mathbb{R}\mathrm{P}^n$，使得每个流形 $Z_d$ 都作为某个 $d$ 次多项式在 $\Gamma$ 上零点集的一个分支出现。（这与 $\Gamma$ 为代数超曲面的情形形成鲜明对比，例如此时多项式 $p$ 在 $\Gamma$ 上零点集的同调复杂度被 $\mathrm{deg}(p)$ 的多项式所界。）我们称这些为“病态例子”。特别地，我们证明对每对 $0 \leq k \leq n-2$ 与每个自然数序列 $a=\{a_d\}_{d\in \mathbb{N}}$，存在一个正则、紧且可定义的超曲面 $\Gamma\subset \mathbb{R}\mathrm{P}^n$、一个子列 $\{a_{d_m}\}_{m\in \mathbb{N}}$ 以及齐次多项式 $\{p_{m}\}_{m\in \mathbb{N}}$（其次数 $\mathrm{deg}(p_m)=d_m$），使得：\begin{equation} \label{eq:pathintro} b_k(\Gamma\cap Z(p_m))\geq a_{d_m}.\end{equation}（此处 $b_k$ 表示第 $k$ 个 Betti 数。）这推广了 Gwoździewicz、Kurdyka 与 Parusiński 的一个结果。另一方面，对给定的可定义超曲面 $\Gamma$，我们证明在 $d$ 次多项式的高斯空间中，满足 $b_k(\Gamma\cap Z(p_m))\geq a_{d_m}$ 的多项式集合 $\Sigma_{d_m,a, \Gamma}$ 的 Fubini-Study 测度为正，但存在常数 $c_\Gamma$ 使得该测度可被界为：\begin{equation} 0<\mathbb{P}(\Sigma_{d_m, a, \Gamma})\leq \frac{c_{\Gamma} d_m^{\frac{n-1}{2}}}{a_{d_m}}. \end{equation} 这表明“病态例子”的集合具有“小”测度。