紧双曲流形上可测上循环的自然映射

令 $\text{G}(n)$ 等于 $\text{PO}(n,1)$、$\text{PU}(n,1)$ 或 $\text{PSp}(n,1)$，并令 $\Gamma \leq \text{G}(n)$ 为一致格。记 $\mathbb{H}^n_K$ 为与 $\text{G}(n)$ 相联系的双曲空间，其中 $K$ 为实数上的维数 $d=\dim_{\mathbb{R}} K$ 的可除代数。假设 $d(n-1) \geq 2$。本文将自然映射推广到可测上循环。给定一个标准 Borel 概率 $\Gamma$-空间 $(X,\mu_X)$，我们假设可测上循环 $\sigma:\Gamma \times X \rightarrow \text{G}(m)$ 容许一个本质唯一的边界映射 $\phi:\partial_\infty \mathbb{H}^n_K \times X \rightarrow \partial_\infty \mathbb{H}^m_K$，其切片 $\phi_x:\mathbb{H}^n_K \rightarrow \mathbb{H}^m_K$ 对几乎处处的 $x \in X$ 是无原子的。则存在一个 $\sigma$-等变可测映射 $F: \mathbb{H}^n_K \times X \rightarrow \mathbb{H}^m_K$，其切片 $F_x:\mathbb{H}^n_K \rightarrow \mathbb{H}^m_K$ 对几乎处处的 $x \in X$ 可微，且对任意 $a \in \mathbb{H}^n_K$ 与几乎处处的 $x \in X$ 满足 $\text{Jac}_a F_x \leq 1$。前述性质使我们能定义上循环 $\sigma$ 的自然体积 $\text{NV}(\sigma)$。该数满足不等式 $\text{NV}(\sigma) \leq \text{Vol}(\Gamma \backslash \mathbb{H}^n_K)$。此外，等号成立当且仅当 $\sigma$ 通过标准格嵌入 $i:\Gamma \rightarrow \text{G}(n) \leq \text{G}(m)$ 诱导的上循环上同调，当 $m>n$ 时可能模 $\text{G}(m)$ 的一个紧子群。给定紧双曲流形间的一个连续映射 $f:M \rightarrow N$，我们也得到了映射度定理在此背景下的适配形式。