取值于高秩李群的可测上循环的平衡映射

设 $G$ 为非紧型半单李群,令 $\mathcal{X}_G$ 为其相伴的黎曼对称空间。假设 $\mathcal{X}_G$ 维数为 $n$ 且不含等距于 $\mathbb{H}^2$ 或 $\text{SL}(3,\mathbb{R})/\text{SO}(3)$ 的因子。给定闭的 $n$ 维黎曼流形 $N$,令 $\Gamma=\pi_1(N)$ 为其基本群,$Y$ 为其通用覆盖。考虑表示 $\rho:\Gamma \rightarrow G$ 及一个可测的 $\rho$-平衡映射 $\psi:Y \rightarrow \mathcal{X}_G$。Connell-Farb 描述了一种构造映射 $F:Y\rightarrow \mathcal{X}_G$ 的方法,该映射光滑、$\rho$-平衡且具有一致有界雅可比。本文将 Connell-Farb 的构造推广到可测上循环的情形。更确切地说,若 $(\Omega,\mu_\Omega)$ 是标准 Borel 概率 $\Gamma$-空间,令 $\sigma:\Gamma \times \Omega \rightarrow G$ 为可测上循环。我们构造一个可测映射 $F: Y \times \Omega \rightarrow \mathcal{X}_G$,它是 $\sigma$-平衡的,其切片光滑且具一致有界雅可比。对此类平衡映射我们还定义了体积的概念,并在该特定情形下证明了一类映射度定理。