关于单连通可解李群的构造

设 $\omega_\mathfrak{g}$ 为流形 $M$ 上的李代数取值微分 $1$-形式，满足结构方程 $d \omega_\mathfrak{g} + \frac{1}{2} \omega_\mathfrak{g}\wedge \omega_\mathfrak{g}=0$，其中 $\mathfrak{g}$ 是可解的。我们证明，寻找光滑映射 $\rho:M\to G$ 的问题可以通过求积法和矩阵指数求解，其中 $G$ 是具有李代数 $\mathfrak{g}$ 和左不变 Maurer-Cartan 形式 $\tau$ 的 $n$ 维可解李群，且满足 $\rho^* \tau= \omega_\mathfrak{g}$。在此过程中，我们给出了可解李代数的 Lie 第三定理中向量场的闭式公式。进一步的应用是利用矩阵指数和 $n$ 次求积法构造单连通 $n$ 维可解李群的乘法映射。此外，还给出了在寻找具有可解对称代数的完全可积 Pfaff 系统的首次积分方面的应用。