Rothschild-Stein 提升方法向非幂零群的推广

在1976年著名的论文中，Rothschild 和 Stein 证明了一种提升程序，该程序将流形 $M$ 上的任意一族光滑向量场 $X_1,\dots,X_q$ 局部约化为自由幂零李代数。随后，一大类微分算子可以被提升，并且提升空间上的基本解可以重新投影为 $M$ 上给定算子的基本解。在李代数 $\mathfrak g=\mbox{Lie}(X_1,\dots,X_q)$ 维数有限但非幂零的情况下，该程序可能会引入空间的强烈倾斜。在本文中，我们给出了与 $\mathfrak g$ 相关联的李群 $G$ 的全局构造，以避免这种倾斜问题。特别地，$\mbox{Lie}(G)\cong\mathfrak g$，且 $M$ 上存在一个忠实且传递的右 $G$ 作用，诱导出自然投影 $E\colon G\to M$。我们将群 $G$ 表示为直积 $M\times G^z$，其中模型纤维 $G^z$ 具有群结构。我们证明了，对于任何单连通流形 $M$——以及一大类非单连通流形——$M$ 上有限次微分算子 $L=\sum_{\alpha\in\mathbb N^q} r_\alpha\cdot X^\alpha$ 的基本解，可以通过饱和方法，从群 $G$ 上相关联的提升算子的基本解获得。这是 Biagi 和 Bonfiglioli 针对 $M=\mathbb R^n$ 上齐次向量场类似结果的推广。