实与复二维流形上解析向量场李代数的零点集，II

在具有空边界的实（$\mathbb F=\mathbb R$）或复（$\mathbb F=\mathbb C$）解析连通二维流形$M$上，考虑两个向量场$X,Y$。若存在某个连续函数$f\colon M\rightarrow\mathbb F$使得$[Y,X]=fX$，则称$Y${\it 追踪} $X$。设$K$是零点集${\mathsf Z}(X)$的一个紧子集，使得${\mathsf Z}(X)-K$是闭集，且具有非零庞加莱-霍普夫指标（例如当$M$紧致且$\chi(M)\neq 0$时$K={\mathsf Z}(X)$），并设$\mathcal G$是$M$上解析向量场的一个有限维李代数。\smallskip {\bf 定理.} 设$X$解析且非平凡。若$\mathcal G$的每个元素都追踪$X$，并且在复情形当${\mathsf i}_K (X)$为正偶数时$\mathcal G$没有商代数同构于${\mathfrak {s}}{\mathfrak {l}} (2,\mathbb C)$，则$\mathcal G$在$K$中有某个零点。\smallskip {\bf 推论.} 若$Y$追踪一个非平凡向量场$X$，且二者皆解析，则$Y$在$K$中某处为零。\smallskip 此外，还证明了某些类型变换群的不动点定理，并给出了若干说明性例子。