通过全局提升方法的齐次 Hörmander 算子的全局基本解的存在性

我们证明了对于任意 $\mathbb{R}^n$ 上 $\delta$-齐次且次数为 $2$ 的 Hörmander 算子 $\mathcal{L}=\sum_{i=1}^m X_i^2$，存在全局基本解 $\Gamma(x;y)$（极点为 $x$）。利用 Folland 在 [On the Rothschild-Stein lifting theorem, Comm. PDEs, 1977] 中证明的齐次算子全局提升方法，存在一个 Carnot 群 $\mathbb{G}$ 和一个多项式满射 $\pi:\mathbb{G}\to \mathbb{R}^n$，使得 $\mathcal{L}$ 与 $\mathbb{G}$ 上的子拉普拉斯算子 $\mathcal{L}_{\mathbb{G}}$ 是 $\pi$-相关的。我们指出，总能在 $\mathbb{G}$ 上执行（全局）变量替换，使得提升映射 $\pi$ 成为 $\mathbb{G}\equiv \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^p$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的投影。若 $\Gamma_{\mathbb{G}}(x,{x}';y,{y}')$（$x,{x}'\in\mathbb{R}^n$；$y,{y}'\in\mathbb{R}^p$）是 $\mathcal{L}_{\mathbb{G}}$ 的基本解，我们证明 $\Gamma_{\mathbb{G}}(x,0;y,{y}')$ 关于 ${y}'\in \mathbb{R}^p$ 总是可积的，且其积分是 $\mathcal{L}$ 的一个基本解。