齐次Hörmander算子基本解的全局估计

设 $\mathcal{L}=\sum_{j=1}^{m}X_{j}^{2}$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 中向量场的 Hörmander 平方和，其中任一 $X_{j}$ 关于 $\mathbb{R}^{n}$ 中一族非各向同性伸缩是 $1$ 次齐次的。已知 $\mathcal{L}$ 容许一个全局基本解 $\Gamma (x;y)$，它可表示为装备了 Carnot 群结构的提升空间 $\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{p}$ 上子拉普拉斯算子基本解的积分。本文旨在证明 $\Gamma$ 的全局逐点（上、下）估计，用 $X=\{X_{1},\ldots ,X_{m}\}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上诱导的 Carnot-Carathéodory 距离表示，以及 $\Gamma$ 的任意阶 $X$-导数的全局逐点（上）估计，并给出这些导数的适当积分表示。维数最小的情形 $n=2$ 具有若干特殊性，本文亦加以研究。还给出了对 $\mathcal{L}$ 的位势论以及核 $X_{i}X_{j}\Gamma$ 的奇异积分估计的应用。最后，关于 $\Gamma$ 的大部分结果被推广到带漂移的 Hörmander 算子 $\sum_{j=1}^{m}X_{j}^{2}+X_{0}$ 的情形，其中 $X_{0}$ 是 $2$-齐次的，$X_{1},...,X_{m}$ 是 $1$-齐次的。