广义函数代数的整体理论

我们提出一种几何方法，用以在光滑流形 $M$ 上定义包含 $M$ 上分布空间 ${\mathcal D}'(M)$ 的广义函数代数 $\hat{\mathcal G}(M)$（即 Colombeau 代数）。基于便利向量空间中的微分学，我们实现了 $\hat{\mathcal G}(M)$ 的内在构造。$\hat{\mathcal G}(M)$ 是一个微分代数，其元素对任意光滑向量场具有 Lie 导数。此外，我们构造了 ${\mathcal D}'(M)$ 到 $\hat{\mathcal G}(M)$ 的一个典范线性嵌入，使得 ${\mathcal C}^\infty (M)$ 成为 $\hat{\mathcal G}(M)$ 的忠实子代数。最后，证明了该嵌入与 Lie 导数可交换。因此 $\hat{\mathcal G}(M)$ 在整体情形下保留了局部理论的所有显著性质。