具有解析系数的二阶椭圆算子基本解的展开

设 $L$ 为定义在 $B_1\subseteq\mathbb R^n$ 中的具有解析系数的二阶椭圆算子。我们显式且规范地构造了该算子的一个基本解，即函数 $u:B_{r_0}\to\mathbb R$ 使得 $Lu=\delta_0$。作为我们构造的结果，我们得到了基本解按齐次项的展开（齐次多项式除以 $|x|$ 的幂，若维数 $n$ 为偶数则加上齐次多项式乘以 $\log(|x|)$），该结果改进了 F. John (1950) 的经典结论。我们对每一项齐次项的“复杂度”的控制是最优的，特别地，当 $L$ 为解析黎曼流形的 Laplace-Beltrami 算子时，我们恢复了 K. Kodaira (1949) 的基本解构造。证明的主要要素是奇异函数的调和分解，以及将我们构造的收敛性归约为关于以 $\mathbb Z^2$ 为顶点指标的有权图上的加权路径的非平凡估计。