一般高阶椭圆算子与二阶算子乘积的基本解之间的差异

我们研究大维度 $n\ge 2m$ 下具有常系数的 $2m\geq4$ 阶椭圆算子的基本解，此时其奇性变得无界。对于二阶算子的复合，这些基本解可选为正奇异函数的卷积乘积，其本身为正。一旦 $n\geq3$，多重调和算子 $(-\Delta)^m$ 可能不再作为一般椭圆算子的原型。由 [V.G. Maz'ya, S. A. Nazarov, Math. Notes 39 (1986); Transl. of Mat. Zametki 39 (1986)] 和 [E.B. Davies, Journal Differ. Equations 135 (1997)] 的示例可知，在维度 $n\ge 2m+3$ 中，特定 $2m\geq4$ 阶算子的基本解可能在其奇点附近变号：存在“正”方向和“负”方向，当接近其极点时，基本解分别趋于 $+\infty$ 和 $-\infty$。为系统理解此现象，我们首先证明“正”方向的存在直接由算子的椭圆性得出。我们建立了按空间维度的归纳论证，表明在某维度下的变号意味着对适当构造的算子在任意更大维度下均变号。此外，我们对 $n=2m$、$n=2m+2$ 以及所有奇维度，推导出了基本解关于其符号的显式封闭表达式。由这些公式可见，此类算子基本解的符号依赖于维度。事实上，我们证明了对 $n=2m+2$ 维度中某合适的 $2m$ 阶算子甚至存在变号。另一方面，我们证明在维度 $n=2m$ 和 $n=2m+1$ 中，任何此类椭圆算子的基本解在其奇点附近恒为正。