具有周期系数的高阶椭圆算子的均匀化

在$L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$中，我们研究一个阶为$2p$的自伴强椭圆算子$A_\varepsilon$，其由表达式$b({\mathbf D})^* g({\mathbf x}/\varepsilon) b({\mathbf D})$给出，$\varepsilon >0$。此处$g({\mathbf x})$是${\mathbb R}^d$中有界正定的$(m\times m)$-矩阵值函数；假定$g({\mathbf x})$关于某个格点周期。其次，$b({\mathbf D})=\sum_{|\alpha|=p}^d b_\alpha {\mathbf D}^\alpha$是阶为$p$的常系数微分算子；$b_\alpha$为常$(m\times n)$-矩阵。假定$m\ge n$且符号$b({\boldsymbol \xi})$具有最大秩。对于预解式$(A_\varepsilon - \zeta I)^{-1}$，其中$\zeta \in {\mathbb C} \setminus [0,\infty)$，我们得到了在$L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$中算子范数下以及从$L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$到Sobolev空间$H^p({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$的算子范数下的逼近，其误差估计依赖于$\varepsilon$和$\zeta$。