无限圆柱上非自伴周期椭圆算子的均匀化

我们考虑 $L_{2}(\mathbb{R}^{d_{1}}\times\mathbb{T}^{d_{2}})$ 上散度形式的非自伴二阶椭圆微分算子 $\mathcal{A}^{\varepsilon}$ 的均匀化问题，其中 $d_{1}$ 为正，$d_{2}$ 为非负。算子 $\mathcal{A}^{\varepsilon}$ 的系数关于第一个变量是以 $\varepsilon$ 为周期的，且关于第二个变量在某种意义下是光滑的。我们证明，当 $\varepsilon$ 变小时，$(\mathcal{A}^{\varepsilon}-\mu)^{-1}$ 和 $D_{x_{2}}(\mathcal{A}^{\varepsilon}-\mu)^{-1}$ 分别在算子范数下收敛于 $(\mathcal{A}^{0}-\mu)^{-1}$ 和 $D_{x_{2}}(\mathcal{A}^{0}-\mu)^{-1}$，其中 $\mathcal{A}^{0}$ 是一个系数仅依赖于 $x_{2}$ 的算子。我们还得到了 $D_{x_{1}}(\mathcal{A}^{\varepsilon}-\mu)^{-1}$ 的近似，并求出了 $(\mathcal{A}^{\varepsilon}-\mu)^{-1}$ 近似中的下一项。给出了收敛速率和近似速率的估计，并在阶的意义下是精确的。