非平稳周期方程的高频均匀化

我们考虑一个作用於 $L_2(\mathbb{R})$ 的具有周期系数的椭圆微分算子 $A_\varepsilon = - \frac{d}{dx} g(x/\varepsilon) \frac{d}{dx} + \varepsilon^{-2} V(x/\varepsilon)$, $\varepsilon > 0$。对于以 $A_\varepsilon$ 为哈密顿量的非平稳薛定谔方程以及以 $A_\varepsilon$ 为算子的双曲方程,研究了与算子 $A_\varepsilon$ 谱带边缘相关的一致化问题的类比(即所谓的高频均匀化)。对于具有特殊初值的这些方程的柯西问题解,获得了小 $\varepsilon$ 时在 $L_2(\mathbb{R})$ 范数下的逼近。