具有周期系数的椭圆系统 Neumann 问题的均匀化

设 ${\mathcal O} \subset {\mathbb R}^d$ 为具有 $C^{1,1}$ 类边界的有界域。在 $L_2({\mathcal O};{\mathbb C}^n)$ 中考虑具有 Neumann 边界条件的矩阵椭圆二阶微分算子 ${\mathcal A}_{N,\varepsilon}$。此处 $\varepsilon>0$ 为小参数，${\mathcal A}_{N,\varepsilon}$ 的系数是周期的且依赖于 ${\mathbf x} /\varepsilon$。对系数没有正则性假设。证明了当 $\varepsilon \to 0$ 时，预解式 $({\mathcal A}_{N,\varepsilon}+\lambda I)^{-1}$ 在 $L_2({\mathcal O};{\mathbb C}^n)$-算子范数下收敛到具有常数系数的有效算子 ${\mathcal A}_N^0$ 的预解式。得到了尖锐的阶误差估计 $|({\mathcal A}_{N,\varepsilon}+\lambda I)^{-1} - ({\mathcal A}_{N}^0 +\lambda I)^{-1}|_{L_2\to L_2} \le C\varepsilon$。找到了从 $L_2({\mathcal O};{\mathbb C}^n)$ 作用到 Sobolev 空间 $H^1({\mathcal O};{\mathbb C}^n)$ 的算子范数下预解式 $({\mathcal A}_{N,\varepsilon}+\lambda I)^{-1}$ 的近似，其误差为 $O(\sqrt{\varepsilon})$。该近似由算子 $({\mathcal A}^0_N +\lambda I)^{-1}$ 与一阶修正项之和给出。在严格内部子域 ${\mathcal O}'$ 中，获得了误差为 $O(\varepsilon)$ 的类似近似。