具有周期系数的高阶椭圆方程 Neumann 问题的均匀化

设 $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ 为 $C^{2p}$ 类有界区域。在 $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ 中，我们研究由表达式 $b({\mathbf D})^* g({\mathbf x}/\varepsilon) b({\mathbf D})$ 给出的 $2p$ 阶自伴强椭圆算子 $A_{N,\varepsilon}$，其中 $\varepsilon >0$，并带有 Neumann 边界条件。这里 $g({\mathbf x})$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的有界正定 $(m\times m)$ 矩阵值函数，关于某格点周期；$b({\mathbf D})=\sum_{|\alpha|=p} b_\alpha {\mathbf D}^\alpha$ 是具有常系数的 $p$ 阶微分算子；$b_\alpha$ 是常数 $(m\times n)$ 矩阵。假设 $m\geqslant n$ 且符号 $b({\boldsymbol \xi})$ 对任意 $0 \ne {\boldsymbol \xi}\in {\mathbb C}^d$ 具有最大秩。我们在 $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ 算子范数以及从 $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ 到 Sobolev 空间 $H^p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ 的算子范数下，求得了预解式 $\left(A_{N,\varepsilon}-\zeta I \right)^{-1}$ 的近似，并给出了依赖于 $\varepsilon$ 和 $\zeta$ 的误差估计。