具有周期系数的高阶薛定谔型方程的齐次化

在 $L_2({\mathbb R}^d; {\mathbb C}^n)$ 中，我们考虑阶为 $2p$（$p \geqslant 2$）的矩阵强椭圆微分算子 ${A}_\varepsilon$。该算子由 ${A}_\varepsilon = b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}/\varepsilon) b(\mathbf{D})$ 给出，$\varepsilon >0$，其中 $g(\mathbf{x})$ 是周期、有界且正定的矩阵值函数，$b(\mathbf{D})$ 是阶为 $p$ 的齐次微分算子。我们证明，对固定 $\tau \in {\mathbb R}$ 且 $\varepsilon \to 0$，算子指数 $e^{-i \tau {A}_\varepsilon}$ 在作用于从 Sobolev 空间 $H^s({\mathbb R}^d; {\mathbb C}^n)$（含适当 $s$）到 $L_2({\mathbb R}^d; {\mathbb C}^n)$ 的算子范数下收敛于 $e^{-i \tau {A}^0}$。此处 $A^0$ 为有效算子。获得了尖锐阶误差估计。结果被应用于薛定谔型方程 $i \partial_\tau {\mathbf u}_\varepsilon = {A}_\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon + {\mathbf F}$，${\mathbf u}_\varepsilon\vert_{\tau=0} = \boldsymbol{\phi}$ 的柯西问题的齐次化。