具有周期系数的双曲方程均匀化的谱方法

在 $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ 中，我们考虑依赖于 ${\mathbf x}/ \varepsilon$（$\varepsilon>0$）的具有周期系数的自伴强椭圆二阶微分算子 ${\mathcal A}_\varepsilon$。我们研究当 $\varepsilon$ 很小时算子 $\cos( {\mathcal A}^{1/2}_\varepsilon \tau)$ 和 ${\mathcal A}^{-1/2}_\varepsilon \sin( {\mathcal A}^{1/2}_\varepsilon \tau)$（$\tau \in \mathbb{R}$）的行为。在具有合适 $s$ 的 $(H^s\to L_2)$-算子范数下，获得了这些算子的逼近。这些结果被用于研究双曲方程 $\partial^2_\tau {\mathbf v}_\varepsilon = - \mathcal{A}_\varepsilon {\mathbf v}_\varepsilon +\mathbf{F}$ 的 Cauchy 问题解 ${\mathbf v}_\varepsilon$ 的行为。一般性结果被应用于声学方程和弹性理论系统。