非光滑 Hörmander 算子的基本解与局部可解性

我们考虑 $\mathbb{R}^p$ 有界域中形式为 $L=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+X_{0}$ 的算子，其中 $X_0, X_1,...,X_n$ 是步长为 $r$ 的非光滑 Hörmander 向量场，且其最高阶交换子仅为 Hölder 连续。应用 Levi 参数法，我们构造了 $L$ 的局部基本解 $\gamma$，并给出了 $\gamma$ 及其关于向量场的一阶导数的增长估计。通过要求系数具有更高一阶的导数，我们证明了 $\gamma$ 也具有二阶导数，并借此推导出 $L$ 的局部可解性，即利用 $\gamma$ 构造出 $Lu=f$ 的解（其中 $f$ 为 Hölder 连续函数）。我们还证明了该解的 $C_{X,loc}^{2,\alpha}$ 估计。