关于强耦合非局部方程组 $L^{p}$ 可解性的注记

本文旨在研究强耦合非局部系统的 $L^{p}$ 可解性，系统形式为\n\n$$\mathbb{L} \mathbf{u} (\mathbf{x}) + \lambda \mathbf{u}(\mathbf{x})= \mathbf{f}(\mathbf{x}) \quad \text{在 $\mathbb{R}^{d}$ }$$\n\n其中 $\mathbb{L}$ 为与核函数 $K$ 类似于 $|\mathbf{y}|^{-(d+2s)}$ 相关的线性非局部耦合向量算子（$s \in (0,1)$），满足一定的 ellipticity 与 cancellation 条件。对于任意 $\mathbf{f} \in [L^p(\mathbb{R}^d)]^d$，$1< p < \infty$，本文通过连续性方法证明存在唯一的强解 $\mathbf{u} \in [H^{2s,p}(\mathbb{R}^d)]^d$。为应用该方法，我们建立算子 $\mathbb{L}$ 的连续性及必需的 \textit{a priori} 估计，这些估计通过研究相应的抛物系统获得。证明策略遵循并扩展了近期在标量情形下 developing 的思想，结合了微分算子估计、Sobolev 嵌入、水平集估计与 bootstrap argument。