具有 Hölder 正则系数的强耦合非局部方程线性系统的 Calderón-Zygmund 理论

我们将非局部方程的 Calderón-Zygmund 理论扩展到强耦合的线性非局部方程组 $\mathcal{L}^{s}_{A} u = f$，其中算子 $\mathcal{L}^{s}_{A}$ 形式化地由 $$\mathcal{L}^s_{A}u = \int_{\mathbb{R}^n}\frac{A(x, y)}{\vert x-y\vert ^{n+2s}} \frac{(x-y)\otimes (x-y)}{\vert x-y\vert ^2}(u(x)-u(y))dy$$ 给出。对于 $0 < s < 1$ 以及取为对称并作为该算子可变系数的 $A:\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$，所考虑的系统是经典 Navier-Lamé 线性弹性系统的分数阶版本。研究非局部方程耦合系统的动机源于其在非局部力学（主要是近场动力学）中的出现。我们的正则性结果表明，如果 $A(\cdot, y)$ 是一致 Hölder 连续的且 $\inf_{x\in \mathbb{R}^n}A(x, x) > 0$，那么对于 $f\in L^{p}_{loc}$，其中 $p\geq 2$，解向量 $u\in H^{2s-\delta,p}_{loc}$ 对于某个 $\delta\in (0, s)$ 成立。