具有低强度核的积分微分算子抛物方程的 $L_{q}(L_{p})$ 正则性理论

本文中，我们给出非局部算子 $$\partial_{t}u(t,x) = \mathcal{L}^{a}u(t,x) + f(t,x), \quad t>0$$ 在 $L_{q}(L_{p})$ 空间中抛物方程解的存在性、唯一性与正则性。我们的空间算子 $\mathcal{L}^{a}$ 是如下形式的积分微分算子 $$\int_{\mathbb{R}^{d}} \left( u(x+y)-u(x) -\nabla u(x) \cdot y \mathrm{1}_{|y|\leq 1} \right) a(t,y) j_{d}(|y|)dy.$$ 这里 $a(t,y)$ 仅为有界可测系数，我们采用加性过程理论来处理它。我们研究 $j_{d}(r)$ 上能导出解之 $L_{q}(L_{p})$ 正则性的条件。我们对 $j_d$ 的假设是一般的，使得 $j_d(r)$ 可与 $r^{-d}\ell(r^{-1})$ 相比较，其中 $\ell$ 是在无穷远处缓慢变化的函数。例如，可取 $\ell(r)=\log{(1+r^{\alpha})}$ 或 $\ell(r) = \min{\{r^{\alpha},1\}}$（$\alpha\in(0,2)$）。事实上，我们的结果涵盖了其傅里叶乘子 $\psi(\xi)$ 对 $|\xi|\geq 1$ 无任何标度条件的算子。此外，我们给出若干算子的例子，它们是先前考虑 $\psi$ 的光滑性或标度条件的结果所不能涵盖的。