Tractor 演算、BGG 复形与 Klein 群的群上同调

对于紧定向双曲 $n$-流形 $(M,g)$，其实现为 $M= \Gamma \backslash \mathbb{H}^{n}$，其中 $\Gamma$ 是 $SO(n,1)$ 的无挠余紧子群，我们建立并研究了 $M$ 上的微分几何上同调与群 $\Gamma$ 的代数不变量之间的关系。特别地，对于不可约 $SO(n,1)$-模 $\mathbb{F}$，我们证明了系数为 $\mathbb{F}$ 的群上同调 $H^{\bullet}(\Gamma, \mathbb{F})$ 同构于 $M$ 上适当投影 BGG 复形的上同调。这给出了几何解释：$H^{\bullet}(\Gamma, \mathbb{F})$ 参数化了黎曼几何中某些特定的自然偏微分方程的解，模去适当微分上边缘算子的值域。从另一个角度看，该构造展示了非平凡上同调如何在 BGG 复形中产生，并极大地阐明了其几何意义。我们还利用所开发的工具给出了一个新证明：只要 $M$ 包含一个紧定向全测地超曲面，则 $H^{1} (\Gamma, S_{0}^{k} \mathbb{R}^{n+1}) \neq 0$。所有构造都基于我们建立的另一个结果，即双曲流形上的典范平坦联络等同于投影微分几何中的 tractor 联络。