有限生成域上光滑超曲面的线性系

设 $K$ 为有限生成域。我们构造了 $\mathbb{P}^n$ 中定义在 $K$ 上的 $n$ 次超曲面的一个 $n$ 维线性系 $\mathcal{L}$，使得 $\mathcal{L}$ 中每个定义在 $K$ 上的成员均为光滑的，其假设为特征 $p$ 不整除 $\gcd(d, n+1)$（特别地，当 $K$ 特征为 $0$ 时无此限制）。此外，当 $p$ 整除 $\gcd(d, n+1)$ 时，我们给出一个反例。