通过 Galois 轨道点的超曲面

Asgarli、Ghioca 和 Reichstein 证明了如果 $K$ 是一个域且 $|K|>2$，则对于任意正整数 $d$ 和 $n$，以及次数为 $m=\binom{n+d}{d}$ 的可分域延拓 $L/K$，存在点 $P\in \mathbb{P}^n(L)$ 使得其不位于由 $K$ 定义的任意次数为 $d$ 的超曲面上。他们询问当 $|K| = 2$ 时，结果是否仍然成立。我们通过结合各种算术几何学思想，以肯定的方式回答了他们的问题。更一般地，我们证明对于每个正整数 $r$ 和次数为 $r$ 的可分域延拓 $L/K$，存在点 $P \in \mathbb{P}^n(L)$ 使得在 $K$ 上定义的次数为 $d$ 的形式向量空间在 $P$ 处消失的维数符合预期。我们还讨论了关于具有特殊性质的超曲面线性系统的应用。