关于非标准粗糙奇异积分算子的有界性

设 $\Omega$ 为零次齐次、在单位球面 $\mathbb {S}^{d-1}$（$d\ge 2$）上具有一阶消失矩。本文的研究对象为如下粗糙非标准奇异积分算子 $$T_{\Omega,\,A}f(x)={\rm p.\,v.}\int_{\mathbb{R}^d}\frac{\Omega(x-y)}{|x-y|^{d+1}}\big(A(x)-A(y)-\nabla A(y)(x-y)\big)f(y){\rm d}y,$$ 其中 $A$ 为定义在 $\mathbb{R}^d$ 上、一阶导属于 ${\rm BMO}(\mathbb{R}^d)$ 的函数。我们证明 $T_{\Omega,\,A}$ 具有端点 $L\log L$ 型估计，且当 $\Omega\in L(\log L)^{2}(\mathbb{S}^{d-1})$ 时关于 $L^p$ 有界。这些结果本质上改进了 Hofmann 在条件 $\Omega\in L^{q}(\mathbb {S}^{d-1})$ $(q>1)$ 下给出的 $T_{\Omega,\,A}$ 的 $L^p$ 有界性已知结果，以及 Hu 和 Yang 在 $\Omega\in {\rm Lip}_{\alpha}(\mathbb{S}^{d-1})$（某 $\alpha\in (0,\,1]$）时给出的端点弱 $L\log L$ 型估计。当 $\Omega\in L^{\infty}(\mathbb {S}^{d-1})$ 时，证明了定量的加权强和端点弱 $L\log L$ 型不等式。加权结果的分析严重依赖于本文建立的 $T_{\Omega,\,A}$ 的两个双线性稀疏控制。