随机奇异积分算子的 L_p 有界性及其在随机偏微分方程中的应用

在本文中，我们引入了核 $K(r,t,x,y)$ 的赫尔曼德 (Hörmander) 条件的随机对应：在 $(0,\infty)\times R^d$ 上存在伪度量 $\rho$ 和正常数 $C_0$，使得对于 $X=(t,x), Y=(s,y), Z=(r,z) \in (0,\infty) \times R^d$，$\sup_{X,Y}\int_{0}^\infty \left[ \int_{\rho(X,Z) \geq C_0 \rho(X,Y)} | K(r,t, z,x) - K(r,s, z,y)| ~dz\right]^2 dr <\infty.$ 我们证明，若当 $p=2$ 时有界且随机赫尔曼德条件成立，则类型 $\mathbb{T} g(t,x) :=\int_0^{t} \int_{R^d} K(t,s,x,y) g(s,y)dy dW_s$ 的随机奇异积分是 $\mathbb{L}_p=L_p(\Omega \times (0,\infty); L_{p}(R^d))$ 上的有界算子，对任意 $p\geq 2$ 成立。此处 $\Omega$ 是概率空间，$W_t$ 是 $\Omega$ 上的维纳过程。证明此类积分算子的 $L_p$-有界性是构建线性随机偏微分方程（简称 SPDE）的 $L_p$ 理论的关键步骤。作为我们关于随机奇异算子结果的副产品，我们获得了非常广泛一类 SPDE 的极大 $L_p$-正则性结果。