Radon 变换特定不等式的极值解光滑性研究

Radon 变换是从欧几里得空间的 $L^p$ 空间到所有仿射超平面流形上的 $L^q$ 空间的有界算子，其指数依赖于维数。已确定特定 $q$ 和 $p$ 值下的极值解，但大多数仍未开放。我们证明当关联欧拉拉格range 方程中的指数 $q-1$ 和 $\frac1{p-1}$ 为整数时，极值解是无穷可微的。该证明借鉴了 Christ 与 Xue 的方法，适用于基础空间为流形的情形。证明在 $k$ 面积变换的框架下完成，该变换将函数从 $\mathbb{R}^n$ 上的函数映射到所有仿射 $k$ 面积流形上的函数，通过对 $k$ 维平面上的函数进行积分。我们证明当 $q-1$ 和 $\frac1{p-1}$ 为整数时，函数量子 $[\|T_{n,k}f\|_{L^q(M)}/\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}]$ 的所有非负临界点都是无穷可微的，所有导数均在 $L^p$ 中，并在加权 $L^p$ 空间中表现出额外的衰减。