关于 $\mathbb{R}^d$ 上的迭代卷积不等式及非紧型黎曼对称空间

在最近的工作中（Int Math Res Not 24:18604-18612, 2021），Carlen-Jauslin-Lieb-Loss 研究了卷积不等式 $f \ge f*f$ 在 $\mathbb{R}^d$ 上的情况，并证明实可积解必须为非负函数，并满足非平凡界 $\int_{\mathbb{R}^d} f \le \frac{1}{2}$。Nakamura-Sawano 随后将其结果推广到 $m$ 次卷积（J Geom Anal 35:68, 2025）。本文我们将单项式替换为真正的多项式，研究形为 \begin{equation*} f \ge \displaystyle\sum_{n=2}^N a_n \left(*^n f\right) \:, \end{equation*} 的实值解 $f \in L^1(\mathbb{R}^d)$，其中 $N \ge 2$ 为整数，$2 \le n \le N$，$a_n$ 为非负整数且至少有一个为正。我们证明 $f$ 必须为非负函数，并满足非平凡界 $\int_{\mathbb{R}^d} f \le t_{\mathcal{Q}}$，其中 $\mathcal{Q}(t):=t-\displaystyle\sum_{n=2}^N a_n\:t^n$，且 $t_{\mathcal{Q}}$ 为 $\mathcal{Q}'$ 在 $(0,\infty)$ 上的唯一零点。我们还给出该结果在非紧型黎曼对称空间上的类比。我们的论证涉及傅里叶分析和复分析。我们随后将结果用于获得与经典欧几里得场下玻色气体基态能量相关的积分-微分方程的先验估计。