关于含不变形 $2\times 2$ 矩阵的多线性 $*$ -多项式图像

设 $\mathbb{F}$ 为一个域，设 $M_2(\mathbb{F})$ 为 endowed with an involution of the first kind. 我们研究在 $M_2(\mathbb{F})$ 上评估的多线性 $*$ -多项式的图像。对于实数上的转置不变形，我们显示图像要么是严格的向量子空间，要么包含 $M_2(\mathbb{R})$ 的一个基。对于二次闭域或 $\mathbb{R}$ 上的辛不变形，我们证明图像总是一个向量空间，即 $\{0\}$, $\mathbb{F}$, $sl_2(\mathbb{F})$ 或 $M_2(\mathbb{F})$ 中的一个。作为副产品，我们完成了 Bre\v{s}ar 和 Klep 描述有限维中心简单代数上第一类不变形的 $*$ -多项式图像线性跨度的定理。他们的结果排除了维数为 4 和 16 的代数；我们解决了这两个案例，扩展描述至所有大于 1 的维数（关于转置不变形为 $\mathbb{R}$，关于辛不变形为二次闭域或 $\mathbb{R}$）。我们还对特征为零的域上 $M_4(\mathbb{F})$ 的所有 Lie skew-ideals 进行了分类。