任意域上$2\times 2$矩阵评估的非交换多项式的像

设$p$为系数在任意域$K$中的多个非交换变量的多重线性多项式。Kaplansky 猜想，对于任意$n$，在$n\times n$矩阵集合$M_n(K)$上评估$p$的像要么为零，要么为标量矩阵集合，要么为迹为零的矩阵集合$sl_n(K)$，要么为整个$M_n(K)$。当$K$对二次扩张封闭时，该猜想在$n=2$的情况下已得证。本文验证了当$K=\mathbb{R}$且$n=2$时该猜想成立，对于半齐次多项式$p$也成立，并给出了任意域$K$的部分解。