无限域上$n\times n$上三角矩阵上多线性多项式的像

本文证明了在无限域$K$上的$n\times n$上三角矩阵代数$UT_n(K)$上求值的多线性多项式的像等于$J^r$，即其Jacobson理想$J=J(UT_n(K))$的一个幂。特别地，这表明$UT_n(K)$上的Lvov-Kaplansky猜想的类比是成立的，从而解决了Fagundes和de Mello的一个猜想。为证明该事实，我们引入了多项式的交换子次数的概念，并根据其系数刻画了交换子次数为$r$的多线性多项式。结果表明，多线性多项式$f$在$UT_n(K)$上的像为$J^r$当且仅当$f$具有交换子次数$r$。