矩阵代数上分次多项式的像

本文旨在开启对全矩阵代数上分次多项式像的研究。我们在域 $K$ 上的矩阵代数 $M_n(K)$ 中工作，该代数赋予其标准 $\mathbb{Z}_n$-分次（Vasilovsky 分次）。我们明确确定了有理数域 $\mathbb Q$ 上多重线性分次多项式像的线性张成的可能性，并提出了关于 $n\times n$ 矩阵上多重线性分次多项式像的 L'vov-Kaplansky 猜想的类似物，其中 $n$ 为素数。当 $K$ 是特征为零或大于 $n$ 的二次闭域时，我们针对 $M_n(K)$ 上次数为 2 的多项式确认了该猜想；对于阶为 2 的矩阵上任意次数的多项式，我们也确认了该猜想。我们还确定了在 $M_2(K)$ 上求值的半齐次分次多项式的所有可能像。