带常数多项式映射的像

设 $K$ 为一代数闭域，$\mathrm{M}(2,K)$ 为 $K$ 上的 $2\times 2$ 矩阵代数，$\mathrm{GL}(2,K)$ 为 $\mathrm{M}(2,K)$ 中的可逆元。我们探索带常数多项式的像，即来自自由代数 $\mathrm{M}(2,K)\langle x, y\rangle$ 的多项式。在本文中，我们计算了由以下两项给定的多项式映射的像： 广义幂和 $Ax^{k_1} + By^{k_2}$ 以及 广义换位子映射 $Axy -Byx$，其中 $A$、$B$ 为 $\mathrm{M}(2,K)$ 中的非零元素。在第一种情况下，我们通过固定 $A$、$B$ 的一个同时共轭对来计算其像，结果表明在大多数情况下它是满射的。在第二种情况下，我们证明了该映射的像始终是一个向量空间。