Lie 多项式在简单 Lie 代数上的像

Lie 多项式是定义在 $k$ 生成元的自由 Lie 代数 $\mathcal F_k$ 中的一个元素，通过对给定 Lie 代数 $L$ 中 $k$ 个元素的替换定义了一个 Lie 映射。类似于群上的词映射和代数上的多项式映射，本文研究诸如类似 Waring 问题、L'vov-Kaplansky 猜想等问题。本文旨在解决一个关于 Lie 代数的类似问题：Lubotzky 在有限简单群上解决的图像问题（Images of word maps in finite simple groups, Glasg. Math. J., 56, no. 2, 465-469, 2014）。很容易验证，Lie 映射的像（a）在自同构下封闭，(b) 包含 $0$。本文证明，对于特征为“良好”素数的简单 Chevalley 代数，这两个性质足以分类所有可能作为 Lie 多项式像的子集。下一个问题是为给定子集找到满足这两个性质的 Lie 多项式。与在代数封闭域上的结果不同，我们在特征为奇数的 Lie 代数 $\mathfrak{sl}_2(q)$ 上找到 Lie 多项式，其图像包含每个 $\rm{GL}_2(q)$ 共轨类以及零。