可积的分数阶修正 Korteweg-de Vries、Sine-Gordon 与 Sinh-Gordon 方程

逆散射变换可显式构造许多具有物理意义的非线性波动方程的解。值得注意的是，利用相关线性散射问题合适本征函数的完备性，该方法可推广到以反常色散为特征的分数阶非线性演化方程。在反常扩散中，均方位移正比于 $t^{\alpha}$，$\alpha>0$；而在反常色散中，局域波的速度正比于 $A^{\alpha}$，其中 $A$ 为波振幅。我们得到了修正 Korteweg-de Vries（mKdV）、sine-Gordon（sineG）和 sinh-Gordon（sinhG）及其相关族的分数阶推广。利用线性散射问题中存在的对称性，这些方程可联系于一标量族非线性演化方程，其中分数阶 mKdV（fmKdV）、分数阶 sineG（fsineG）和分数阶 sinhG（fsinhG）为特例。获得了标量问题解的完备性，并由此用谱展开刻画了该非线性演化方程。特别地，显式写出了 fmKdV、fsineG 和 fsinhG。利用逆散射变换推导了 fmKdV 和 fsineG 的单孤子解，并证明这些孤子表现出反常色散。