具有非零边界条件的修正矩阵Korteweg-de Vries方程的反散射变换与孤子解

为研究具有非零无穷远边界条件的修正矩阵Korteweg-de Vries (mmKdV) 方程在 $2m\times2m$ $(m\geq 1)$ Lax对下的初值问题，本文发展了反散射理论。在正散射问题中，通过引入适当的均匀变换，我们建立了合适的复 $z$ 平面，以讨论该方程的Jost本征函数、散射矩阵及其解析性与对称性。此外，借助Wentzel-Kramers-Brillouin展开分析了反散射问题所需的Jost函数与散射矩阵的渐近行为。在反散射问题中，利用修正本征函数与散射系数的解析性，首先建立了mmKdV方程的广义Riemann-Hilbert问题。通过求解该Riemann-Hilbert问题并利用散射数据，导出了无反射情形下势函数的重构公式。此外，在势为标量及 $2\times2$ 对称矩阵的条件下，详细给出了聚焦型mmKdV方程解的动力学行为，包括单孤子与双孤子解。最后，我们给出了一些详细证明与迹公式的弱形式，以表明势与散射数据的渐近相位。