sine-Gordon 方程半经典非特征 Cauchy 问题的精确解

sine-Gordon 方程作为 Josephson 结中磁通传播的模型，激发了对该方程在色散参数 $\e$ 趋于零的半经典极限下的初值问题的研究。假设具有移动 $-2\pi$ 扭结 (kink) 剖面的自然初始数据，我们在时间零点解析计算了该完全可积 Cauchy 问题对所有充分小的 $\e>0$ 的散射数据，并进一步通过逆散射变换计算了一系列任意小 $\e$ 的解。这一系列精确解类似于聚焦非线性 Schr\"odinger 方程中众所周知的 $N$-孤子 (或高阶孤子) 解。对小 $\e$ 的精确解绘图揭示了在半经典极限下出现的某些特征。例如，在极限 $\epsilon\to 0$ 下，可以观察到非线性焦散 (caustics) 的出现。在附录中，我们从逆散射和经典分析 (Picard 迭代) 的角度对 Cauchy 问题进行了自包含的阐述。具体而言，附录 A 包含了针对一般 $L^1$-Sobolev 初始数据的逆散射方法的完整表述，附录 B 建立了针对 $L^p$-Sobolev 初始数据的适定性 (这特别完全证明了附录 A 中逆散射分析的合理性)。