中心单代数上的正交对合与Severi-Brauer簇的函数域

中心单代数$A$上的正交对合$\sigma$，在标量扩张到$A$的Severi–Brauer簇的函数域$\mathcal{F}(A)$后，是$\mathcal{F}(A)$上一个二次型$q_\sigma$的伴随对合，该二次型在相差一个标量因子下唯一确定。对合的一些性质，如双曲性，以及基于基域奇次扩张的各向同性，都编码于此二次型中，即它们对对合$\sigma$成立当且仅当对$q_\sigma$成立。与此相反，我们证明存在非全可分解的正交对合，其在$\mathcal{F}(A)$上变为全可分解，从而关联型$q_\sigma$是一个Pfister型。我们还提供了指数$2$代数上产生相似二次型的非同构对合的实例，从而证明型$q_\sigma$即使底层代数指数为$2$也不决定$\sigma$的同构类。作为推论，我们表明正交对合的$e_3$不变量在次数$12$时非分类，且在次数$16$时不检测全可分解对合，这与二次型的情况相反。