具有绝对收敛傅里叶级数之无权重函数空间中积分的多项式易处理性

在本注记中，我们证明如下具有绝对收敛傅里叶级数的函数空间 $$F_d:=\left\{ f\in L^2([0,1)^d)\:\middle| \: \|f\|:=\sum_{\boldsymbol{k}\in \mathbb{Z}^d}|\hat{f}(\boldsymbol{k})| \max\left(1,\min_{j\in \mathrm{supp}(\boldsymbol{k})}\log |k_j|\right) <\infty \right\}$$ 其中 $\hat{f}(\boldsymbol{k})$ 为 $f$ 的第 $\boldsymbol{k}$ 个傅里叶系数，$\mathrm{supp}(\boldsymbol{k}):=\{j\in \{1,\ldots,d\}\mid k_j\neq 0\}$，在最坏情形设定下对多元积分是多项式易处理的。此处多项式易处理指使最坏情形误差小于或等于容差 $\varepsilon$ 所需的最小函数求值次数仅随 $\varepsilon^{-1}$ 与 $d$ 多项式增长。需着重指出，函数空间 $F_d$ 是无权重的，即所有变量对函数范数贡献相等。我们的易处理性结果与文献中研究的大多数无权重积分问题相反，后者不成立多项式易处理且遭受维数灾难。我们的证明是构造性的，在于给出了一个达到所需最坏情形误差界的显式拟蒙特卡洛法则。