具有指数权重的科罗博夫空间中的 $\boldsymbol{L}_{\infty}$-逼近

我们研究了一类周期函数的加权科罗博夫空间中的多元 $\boldsymbol{L}_{\infty}$-逼近，该空间的傅里叶系数呈指数快速衰减。权重特别地由两个不同的正实数序列 $\boldsymbol{a}=\{a_j\}$ 和 $\boldsymbol{b}=\{b_j\}$ 定义，且这些实数均远离零。我们研究了在 $s$ 元情形下，使用来自某类 $\Lambda$ 的 $n$ 次信息评估的所有算法的最小最坏情况误差 $e^{\boldsymbol{L}_{\infty}\mathrm{-app},\Lambda}(n,s)$。本文考虑两类 $\Lambda$：$\Lambda^{{\rm all}}$（所有线性泛函类）与 $\Lambda^{{\rm std}}$（仅函数求值类）。我们研究了最小最坏情况误差的指数收敛性，即 $e^{\boldsymbol{L}_{\infty}\mathrm{-app},\Lambda}(n,s)$ 随 $n$ 增大以指数速度收敛到零。此外，我们考察误差如何依赖于维数 $s$。为此，我们定义了 $\kappa$-EC-弱、EC-多项式以及 EC-强多项式易处理性（tractability）的概念，其中 EC 代表“指数收敛”。特别地，EC-多项式易处理性意味着我们需要关于 $s$ 和 $1+\log\,\varepsilon^{-1}$ 的多项式数量的信息评估来计算一个 $\varepsilon$-逼近。我们推导了序列 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 获得指数误差收敛以及各种易处理性概念的充要条件。两类 $\Lambda$ 的结果相同。