关于随机设定下 $L_2$-逼近中标准信息能力的易处理性

我们研究在随机设定下从可分 Hilbert 空间对多元函数进行逼近,误差以加权 $L_2$ 范数度量。我们考虑使用由函数值构成的标准信息 $\Lambda^{\rm std}$ 或由任意线性泛函构成的通用线性信息 $\Lambda^{\rm all}$ 的算法。我们利用加权最小二乘回归算法获得使用 $\Lambda^{\rm std}$ 的极小随机误差的上界估计。我们考察了对于归一化或绝对误差准则,$\Lambda^{\rm std}$ 与 $\Lambda^{\rm all}$ 的各种代数与指数易处理性概念之间的等价性。我们证明,在随机设定下对于归一化或绝对误差准则,无需任何条件,$\Lambda^{\rm std}$ 的能力与 $\Lambda^{\rm all}$ 在所有指数与代数易处理性概念上相同。具体而言,我们解决了 E.Novak 与 H.Wo\'zniakowski 在著作《Tractability of Multivariate Problems, Volume III: Standard Information for Operators》,EMS Tracts in Mathematics, Z\"urich, 2012 中提出的四个开放问题 98、100-102。