加权 Korobov 空间上 $L_2$-逼近的最坏情形可处理性

我们在最坏情形设定下研究加权 Korobov 空间 $H_{d,\a,{\bm \ga}}$ 中的 $L_2$-逼近问题 $\text{APP}_d$，其参数序列为 ${\bm \ga}=\{\ga_j\}$ 与 $\a=\{\az_j\}$，由正实数 $1\ge \ga_1\ge \ga_2\ge \cdots\ge 0$ 与 $\frac1 2<\az_1\le \az_2\le \cdots$ 组成。我们考虑使用 $n$ 个任意连续线性泛函（含 $d$ 个变量）的算法的最小最坏情形误差 $e(n,\text{APP}_d)$。我们研究最小最坏情形误差的多项式收敛性，即 $e(n,\text{APP}_d)$ 随 $n$ 增大以多项式速度收敛到零。我们回顾多项式、强多项式、弱以及 $(t_1,t_2)$-弱可处理性的概念。特别地，多项式可处理性意味着我们需要关于 $d$ 与 $\va^{-1}$ 的多项式个数的任意连续线性泛函，其中 $\va$ 为逼近精度。我们得到强多项式可处理性或多项式可处理性关于序列 ${\bm \ga}$ 与 $\a$ 的匹配必要充分条件为 $$\dz:=\liminf_{j\to\infty}\frac{\ln \ga_j^{-1}}{\ln j}>0,$$ 且强多项式可处理性的指数为 $$p^{\text{str}}=2\max\big\{\frac 1 \dz, \frac 1 {2\az_1}\big\}.$$