超斐波那契卡特兰数及其卢卡斯类比

Catalan 于 1874 年观察到数 $S(m,n) = \frac{(2m)! (2n)!}{m! n! (m+n)!}$（现称为超卡特兰数）为整数，但尽管对 $m=2$ 的情形以及 $S(m, m+s)$（$0 \leq s \leq 4$）已给出解释，一般情形下仍无已知的组合解释。在本文中，我们定义超斐波那契卡特兰数 $S(m,n)_F = \frac{F_{2m}! F_{2n}!}{F_m! F_n! F_{m+n}!}$ 与广义斐波那契卡特兰数 $J_{r,F} \frac{F_{2n}!}{F_n! F_{n+r+1}!}$，其中 $J_{r,F} = \frac{F_{2r+1}!}{F_r!}$。此外，我们给出这两个数的卢卡斯类比，并利用 Sagan 与 Tirrell 的一个结果证明这些卢卡斯类比是具有非负整数系数的多项式，这进而证明了超斐波那契卡特兰数与广义斐波那契卡特兰数均为整数。