FiboNarayana 数与广义 Narayana 数的一个递推关系

Lucas 多项式 $\{n\}$ 是 $s$ 和 $t$ 的多项式，由 $\{ n \} = s \{ n-1 \} + t \{ n-2 \}$（$n \geq 2$）给出，且 $\{ 0 \} = 0$、$\{ 1 \} = 1$。作为二项式系数的类比，lucanomial 系数定义为 $$\Bigl\{ \begin{array}{c} n\k \end{array} \Bigr \} = \frac{ \{n\}! }{ \{k\}! \{n-k\}!}.$$ 当 $s = t = 1$ 时，$\{ n \} = F_n$，lucanomial 系数变为 fibonomial 系数 $$\binom{n}{k}_F = \frac{F_n!}{F_k! F_{n-k}!}.$$ 著名的 Narayana 数 $N_{n,k}$ 满足方程 $$N_{n,k} = \frac{1}{n} \binom{n}{k} \binom{n}{k-1}.$$ 2018 年，Bennett、Carrillo、Machacek 与 Sagan 定义了广义 Narayana 数，并猜想这些数在 $n \geq 1$ 时均为正整数。本文中我们定义了 FiboNarayana 数 $N_{n,k,F}$，并给出了 FiboNarayana 数与广义 Narayana 数的一个新递推关系，证明了它们在 $n \geq 1$ 时为正整数这一猜想。