二项式系数与 Catalan 数的 Lucas 类比的组合解释
组合数学
2020-10-01 v1
摘要
Lucas 序列是 s 和 t 中的多项式序列，递归定义为 {0}=0、{1}=1，且对 n >= 2 有 {n}=s{n-1}+t{n-2}。对 s 和 t 取特例可恢复 Fibonacci 数、非负整数以及 q-整数 [n]_q。给定用非负整数的乘积与商表示的一个量，将表达式中每个 n 的因子替换为 {n}，便得到 Lucas 类比。自然要问所得有理函数是否确实是 s 和 t 中具非负整数系数的多项式，若是，它计数什么。Sagan 与 Savage 给出了该二项式系数多项式类比的首个简单组合解释，尽管他们的模型难以用于证明这些 Lucasnomials 的恒等式或将思想推广到其他组合序列。本文旨在使用格路为这些 Lucasnomials 给出一个更新且更自然的模型，该模型可用于证明各种等式，并推广到 Catalan 数及其亲缘数，例如有限 Coxeter 群的情形。
引用
@article{arxiv.1809.09036,
title = {Combinatorial interpretations of Lucas analogues of binomial coefficients and Catalan numbers},
author = {Curtis Bennett and Juan Carrillo and John Machacek and Bruce E. Sagan},
journal= {arXiv preprint arXiv:1809.09036},
year = {2020}
}
备注
26 pages