卡特兰数卡特兰变换的组合解释

序列 $(a_{n})_{n \ge 0}$ 的卡特兰变换是序列 $(b_{n})_{n \ge 0}$，其中 $b_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{2n-k} \binom{2n-k}{n-k} a_{k}$。本文证明卡特兰数的卡特兰变换具有简单的组合解释：它计数满足以下条件的函数 $f:[1,n] \to [1,n]$，即对于所有 $i<j$，$f(j)-(j-i)$ 不在区间 $[1,f(i)-1]$ 内。