斐波那契序列中不同与重复的平方和立方的数量

斐波那契序列 $\mathbb{F}$ 是态射 $\sigma(a,b)=(ab,a)$ 以 $a$ 开头的固定点。本文中，我们得到所有平方和立方的显式表达式，进而确定了对于所有 $n$ 的 $\mathbb{F}[1,n]$ 中不同平方和立方的数量，其中 $\mathbb{F}[1,n]$ 是 $\mathbb{F}$ 的长度为 $n$ 的前缀。通过建立并讨论平方和立方的递归结构，我们给出了计算 $\mathbb{F}[1,n]$ 中重复平方和立方数量的算法，并对某些特殊的 $n$（如 $n=f_m$（斐波那契数）等）得到显式表达式，其中包括一些已知结果，如 A.S.Fraenkel 和 J.Simpson、J.Shallit 等人所得。