Fibonacci 立方体与 Lucas 立方体的顶点与边轨道

Fibonacci 立方体$\Gamma_n$是通过从$n$-立方体$Q_n$中移除所有包含两个连续 1 的顶点而获得的。若此外再移除以 1 开始和以 1 结束的顶点，则得到 Lucas 立方体$\Lambda_n$。本文确定了在自同构群作用下，Fibonacci 立方体和 Lucas 立方体的顶点与边轨道数量、轨道大小集合以及每种大小的轨道数量。特别是，$\Lambda_n$的顶点轨道大小集合为$\{k \ge 1;\ k \divides n\} \cup\, \{k \ge 18;\ k \divides 2n\}$，大小为$k$（其中$k$为奇数且整除$n$）的$\Lambda_n$顶点轨道数量等于$\sum_{d\divides k}\mu\left(\frac{k}{d}\right) F_{\lfloor \frac{d}{2}\rfloor + 2}$，而$\Lambda_n$的边轨道数量等于$\Gamma_{n-3}$的顶点轨道数量。字符串的二面体变换和本原字符串是证明这些结果的基本工具。